Algèbre linéaire Exemples

$4 a x - 3 y = 7$ , $- x - b y = 8$

Étape 1

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 4 x & 0 & 0 & - 3 & 7 \\ 0 & - 1 y & - 1 & 0 & 8 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 2.1

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$[\begin{array}{c} 4 x & 0 & 0 & - 3 & 7 \\ 0 & - y & - 1 & 0 & 8 \end{array}]$

Étape 2.2

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{4 x}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

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Étape 2.2.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{4 x}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4 x}{4 x} & \frac{0}{4 x} & \frac{0}{4 x} & \frac{- 3}{4 x} & \frac{7}{4 x} \\ 0 & - y & - 1 & 0 & 8 \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{4 x} & \frac{7}{4 x} \\ 0 & - y & - 1 & 0 & 8 \end{array}]$

Étape 2.3

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $- \frac{1}{y}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $- \frac{1}{y}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{4 x} & \frac{7}{4 x} \\ - \frac{1}{y} \cdot 0 & - \frac{1}{y} (- y) & - \frac{1}{y} \cdot - 1 & - \frac{1}{y} \cdot 0 & - \frac{1}{y} \cdot 8 \end{array}]$

Étape 2.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{4 x} & \frac{7}{4 x} \\ 0 & 1 & \frac{1}{y} & 0 & - \frac{8}{y} \end{array}]$

Étape 3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$a - \frac{3 y}{4 x} = \frac{7}{4 x}$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $\frac{7}{4 x}$ des deux côtés de l’équation.

$a - \frac{3 y}{4 x} - \frac{7}{4 x} = 0$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $a$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Ajoutez $\frac{3 y}{4 x}$ aux deux côtés de l’équation.

$a - \frac{7}{4 x} = \frac{3 y}{4 x}$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

Étape 4.2.2

Ajoutez $\frac{7}{4 x}$ aux deux côtés de l’équation.

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $b$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $\frac{8}{y}$ aux deux côtés de l’équation.

$b + \frac{x}{y} + \frac{8}{y} = 0$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $b$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $\frac{x}{y}$ des deux côtés de l’équation.

$b + \frac{8}{y} = - \frac{x}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $\frac{8}{y}$ des deux côtés de l’équation.

$b = - \frac{x}{y} - \frac{8}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

$b = - \frac{x}{y} - \frac{8}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

$b = - \frac{x}{y} - \frac{8}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

Étape 6

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(\frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}, - \frac{x}{y} - \frac{8}{y}, x, y)$

Étape 7

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \\ x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x} \\ - \frac{x}{y} - \frac{8}{y} \\ x \\ y \end{array}]$